Родился художник 13 марта 1880 года в селе Кубинское Кубинской волости Верейского уезда (по сведениям, найденным краеведом А. Денисовым). Живописец учился в Строгановском художественном училище (1910-е) и в Училище живописи, ваяния и зодчества в Москве. С 1918 года он жил и работал в Коломне, где стал одним из наиболее уважаемых и известных художников.

Как мы уже писали, в 30-х годах XX века только что образовавшийся коломенский краеведческий музей сделал А. Солодкову заказ на написание картин для фонда нового учреждения культуры. Художник согласился. Им были созданы такие полотна, как «Приезд Ивана Грозного в Коломну», «Нападение казаков на демонстрацию рабочих Коломенского завода у Рязанской заставы Коломны 11 декабря 1905 года», «Заседание Коломенского Совета рабочих и солдатских депутатов с вопросом о захвате власти в Коломне 26 октября 1917 года», портреты Ивана IV, Дмитрия Донского, Александра Невского, Юрия Долгорукого и другие.

По описи 1948 года, в фондах музея находилось 30 работ Алексея Солодкова. По словам научного сотрудника историко-культурного музея-заповедника «Коломенский кремль» Натальи Мазуровой, некоторые картины художника пришлось списать из-за ветхости и невозможности реставрации. Была сделана полная опись полотен, которые были утрачены для музея. Однако благодаря тому, что картины А. Солодкова часто использовались для иллюстраций в краеведческой литературе, различных путеводителях, у нас есть возможность не просто оценить талант художника, а его глазами взглянуть на Коломну тех лет и на восстановленные им события. Ведь зачастую художнику, чтобы написать ту или иную работу на историческую тему, приходилось изучать имеющийся материал, а где-то даже фантазировать. Так было и с картиной «Взятие Коломны татарами в 1237 году». На полотне мы видим, что события происходят летом, когда ещё яркая трава, но на самом деле это было не совсем так.